MLAB | フレヴィッツの定理

証明

点付き型 $X$ が $(n-1)$ -連結であり、 $n \geq 1$ とする。任意のアーベル群 $A$ について

\pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes A \cong \tilde H_n(X;A)

を示す。同型は、 $(n-1)$ -連結な点付き型の間の点付き写像と、アーベル群の準同型に関して自然である。ここで $n \geq 2$ なら $\pi_n(X)$ はアーベル群であり、アーベル化は $n=1$ の場合だけに関係する。

記法

点付き型の点付き写像の型を $X \to_\ast Y$ と書く。 $r$ -切り詰めを $\|X\|_r$ と書く。 $r$ -連結とは、 $r$ -切り詰め $\|X\|_r$ が可縮であることをいう。 $r$ -型とは、任意の二点間の等号型が $(r-1)$ -型であることをいう。ここで $(-2)$ -型は可縮な型、 $(-1)$ -型は命題、 $0$ -型は集合であり、 $(-1)$ -連結は単に存在することを意味する。

群 $G$ に対して $K(G,1)$ は連結な $1$ -型で $\pi_1(K(G,1))\cong G$ を満たす型を表す。アーベル群とその準同型に対して、関手的に選んだアイレンバーグ・マクレーン・プレスペクトラム $A \mapsto HA$ を固定し、その第 $i$ 成分を $K(A,i)$ と書く。準同型 $u:A\to B$ は各次数で点付き写像

K(u,i):K(A,i)\to_\ast K(B,i)

を誘導し、これらの写像は構造写像と整合しているとする。この関手性は、以下で使う自然性に必要な範囲で $1$ -coherent に固定しておく。ここで $K(A,0)$ はアーベル群 $A$ の台集合を基点 $0$ 付きの $0$ -型と見たものであり、 $K(A,1)$ はアーベル群 $A$ をそのまま一般群と見て、上の一般群版 $K(G,1)$ に代入したものである。 $i \geq 2$ では、 $K(A,i)$ は $(i-1)$ -連結な $i$ -型で

\pi_i(K(A,i)) \cong A

を満たす。さらに $i \geq 1$ では、選んだ同値

K(A,i+1) \simeq \|\Sigma K(A,i)\|_{i+1}

を固定する。以下で $K(A,i+1)$ を $\Sigma K(A,i)$ の $(i+1)$ -切り詰めとして扱うときは、この同値を通した同一視を意味する。

群 $G$ とアーベル群 $C$ に対して、 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(G,C)$ は点ごとの演算でアーベル群と見なす。以下で $\operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_m(Y),C)$ を外側の群準同型の終域として使うときは、このアーベル群構造を使っている。

この固定のもとで、 $i \geq 1$ の構造写像は切り詰め写像

\Sigma K(A,i) \to K(A,i+1)

であり、これは上で固定した同値を通して通常の切り詰め写像 $\Sigma K(A,i)\to \|\Sigma K(A,i)\|_{i+1}$ と同一視される。 $i=0$ の構造写像 $\Sigma K(A,0)\to K(A,1)$ は懸垂の二つの極を基点に送り、 $a\in A$ に対応する経線を、固定した同一視 $\pi_1(K(A,1))\cong A$ のもとで $a$ に対応する指定されたループに送る写像である。被約ホモロジー群は

\tilde H_n(X;A) \coloneqq \pi_n^s(X \wedge HA)

で定義する。右辺は、安定ホモトピー群を定義する列

\pi_{n+i}(X \wedge K(A,i))

の安定化写像に関する余極限である。 $n=1$ では $i=1$ から、 $n \geq 2$ では $i=0$ から始めるが、以下で示すように $i \geq 1$ では安定化写像が同型になる。

使う補題

ここで使う標準事実を先に分ける。第一に、 $r\geq 1$ とし、 $B$ が点付きで $(r-1)$ -連結、 $Z$ が点付きで $r$ -型なら、点付き写像

B \to_\ast Z

は、 $r$ 次ホモトピー群の準同型で分類される。すなわち自然な同値

(B \to_\ast Z) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_r(B),\pi_r(Z))

がある。ただし $r=1$ では一般の群準同型を取り、 $r \geq 2$ では両辺の群はアーベル群である。

この標準事実は次のように見ればよい。まず $Z\langle r-1\rangle$ を、 $Z \to \|Z\|_{r-1}$ の基点成分上のファイバー、すなわち $Z$ の $(r-1)$ -連結被覆とする。自然写像

Z\langle r-1\rangle \to Z

は、任意の $(r-1)$ -連結な点付き型 $B$ からの写像に対して同値

(B \to_\ast Z\langle r-1\rangle) \simeq (B \to_\ast Z)

を誘導する。したがって $B \to_\ast Z$ を調べるには、終域を $(r-1)$ -連結被覆に置き換えればよい。

$Z$ が $r$ -型なら $Z\langle r-1\rangle$ も $r$ -型であり、定義から $(r-1)$ -連結である。従って

Z\langle r-1\rangle \simeq K(\pi_r(Z),r)

である。ここで $r=1$ なら $K(\pi_1(Z),1)$ は一般群のアイレンバーグ・マクレーン空間であり、 $r\geq 2$ ならアーベル群のアイレンバーグ・マクレーン空間である。他方で、任意の $r$ -型への写像は $r$ -切り詰め $\|B\|_r$ を通って一意に因子化し、 $B$ が $(r-1)$ -連結なので

\|B\|_r \simeq K(\pi_r(B),r)

である。よって

(B \to_\ast Z) \simeq (K(\pi_r(B),r) \to_\ast K(\pi_r(Z),r))

となり、右辺は $\pi_r(B) \to \pi_r(Z)$ の準同型と同じである。

第二に、 $Y$ が $(m-1)$ -連結で $Z$ が $(n+m)$ -型なら、点付き写像空間 $Y \to_\ast Z$ は $n$ -型である。これは、連結な始域から切り詰め型への写像空間では型の次数が始域の連結度だけ下がる、という補題である。この補題を使う箇所では、 $Y$ の $(m-1)$ -連結性と $Z$ の $(n+m)$ -型性をその都度確認する。

第三に、二変数分類補題を使う。ここでは、まず任意の点付き型 $X,Y,Z$ と $n,m \geq 1$ に対して自然な写像 $\mathsf{sma}$ を構成し、その後で同値になる条件を述べる。

点付き写像

f : X \to_\ast (Y \to_\ast Z)

を取る。 $f$ に $n$ 回ループを取ると、ループ空間の関手性により、切り詰め前の写像

\Omega^n X \to \Omega^n(Y \to_\ast Z)

が得られる。点付き写像空間のループ空間には自然同値

\Omega^n(Y \to_\ast Z) \simeq (Y \to_\ast \Omega^n Z)

があり、これを通すと

\Omega^n X \to (Y \to_\ast \Omega^n Z)

となる。さらに $Y$ に関して $m$ 回ループを取り、

\Omega^n X \to (\Omega^m Y \to \Omega^{n+m}Z)

を得る。最後に内側と外側を $0$ -切り詰めることで

\mathsf{sma}(f): \pi_n(X) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_m(Y),\pi_{n+m}(Z))

が定まる。この段階では、 $Z$ が $(n+m)$ -型である必要はなく、 $\mathsf{sma}$ は任意の $Z$ に対して構成できる。

この構成で注意すべき点は、切り詰める前のループ空間を群ではなくマグマとして扱うことである。ループ空間は道の合成でマグマになり、点付き写像空間のループ同値

\Omega^n(Y \to_\ast Z) \simeq (Y \to_\ast \Omega^n Z)

は点付きマグマの同値である。また、写像に $\Omega^m$ を作用させる操作も点付きマグマ写像であり、 $\Omega^m\Omega^nZ$ と $\Omega^{n+m}Z$ の同一視も点付きマグマとして固定する。弱いマグマ準同型は $0$ -切り詰め後に通常の群準同型を誘導するので、上の $\mathsf{sma}(f)$ は単なる集合写像ではなく群準同型として得られる。

この $\mathsf{sma}$ は、次の仮定のもとで同値になる。 $X$ が $(n-1)$ -連結、 $Y$ が $(m-1)$ -連結、 $Z$ が $(n+m)$ -型なら、

(X \to_\ast (Y \to_\ast Z)) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}\bigl(\pi_n(X), \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_m(Y),\pi_{n+m}(Z))\bigr)

である。この同値は、抽象的に同じ形の Hom 集合が存在するというだけではなく、いま構成した $\mathsf{sma}$ そのものである。実際、 $Y$ が $(m-1)$ -連結で $Z$ が $(n+m)$ -型なので、写像空間 $Y \to_\ast Z$ は $n$ -型である。さらにその $n$ 次ホモトピー群は、上の一変数の場合を $Y$ に適用することで

\pi_n(Y \to_\ast Z) \cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_m(Y),\pi_{n+m}(Z))

となる。ここで $n+m \geq 2$ なので $\pi_{n+m}(Z)$ はアーベル群であり、この Hom は点ごとの演算でアーベル群である。ここに $X$ に関する一変数の場合をもう一度適用すればよい。この合成同値が $\mathsf{sma}$ と一致することは、上で述べたマグマ構造と弱いマグマ準同型の整合性を含む非自明な標準補題として使う。

スマッシュ積の連結性

点付き型 $X,Y$ のスマッシュ積 $X \wedge Y$ は、点付き写像について随伴

(X \wedge Y \to_\ast Z) \simeq (X \to_\ast (Y \to_\ast Z))

を満たす。

$X$ が $(n-1)$ -連結で $Y$ が $(m-1)$ -連結であるとき、 $X \wedge Y$ は $(n+m-1)$ -連結である。これを示すには、任意の $(n+m-1)$ -型 $Z$ について $X \wedge Y \to_\ast Z$ が可縮であることを示せばよい。随伴によりこれは

X \to_\ast (Y \to_\ast Z)

の可縮性に帰着される。 $Y$ が $(m-1)$ -連結で $Z$ が $(n+m-1)$ -型なので、 $Y \to_\ast Z$ は $(n-1)$ -型である。さらに $X$ は $(n-1)$ -連結だから、 $X \to_\ast (Y \to_\ast Z)$ は可縮である。したがって $X \wedge Y$ は $(n+m-1)$ -連結である。

スマッシュ積の最低次ホモトピー群

$n,m \geq 1$ とし、 $X$ が $(n-1)$ -連結、 $Y$ が $(m-1)$ -連結であるとする。このとき

\pi_{n+m}(X \wedge Y) \cong \pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes \pi_m(Y)^{\mathrm{ab}}

である。この同型をホモロジーを使わずに示す。

直前の補題で定めた具体的な $\mathsf{sma}$ を使う。ここで使い分けるべきことが二つある。 $\mathsf{sma}$ 自体は任意の $Z$ に対して構成できるが、同値になるのは $Z$ が $(n+m)$ -型であるときである。この節では、まず $Z=X\wedge Y$ に対して $\mathsf{sma}$ の構成だけを使い、後で $Z=K(C,n+m)$ に対して同値性を使う。

$Z$ が $(n+m)$ -型であるとき、 $\mathsf{sma}$ は同値

(X \to_\ast (Y \to_\ast Z)) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}\bigl(\pi_n(X), \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_m(Y),\pi_{n+m}(Z))\bigr)

を与える。従って、以後の議論では同じ形の Hom 集合同型があるだけではなく、ループ、随伴、マグマ構造、 $0$ -切り詰めから作った $\mathsf{sma}$ がこの分類同値を実現しているという標準補題を使う。

ここでスマッシュ積の構成射 $X \times Y \to X \wedge Y$ を点付きにカリー化すると

s_{X,Y} : X \to_\ast (Y \to_\ast X \wedge Y)

が得られる。これに $\mathsf{sma}$ を適用することで、双準同型

\pi_n(X) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_m(Y),\pi_{n+m}(X \wedge Y))

を得る。終域の群はアーベル群である。したがって各変数についてアーベル化を通り、自然な双準同型

t_{X,Y} : \pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\pi_m(Y)^{\mathrm{ab}},\pi_{n+m}(X \wedge Y))

すなわち

t_{X,Y} : \pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes \pi_m(Y)^{\mathrm{ab}} \to \pi_{n+m}(X \wedge Y)

を得る。

この $t_{X,Y}$ が同型であることをテンソル積の普遍性で示す。アーベル群の圏では、反変米田補題により、任意のアーベル群 $C$ に対して $t_{X,Y}$ で前合成する写像

\operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\pi_{n+m}(X \wedge Y),C) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes \pi_m(Y)^{\mathrm{ab}},C)

が同型であれば、 $t_{X,Y}$ 自身も同型である。従って、この前合成写像がすべての $C$ について同型であることを示せば十分である。

まず、前節より $X \wedge Y$ は $(n+m-1)$ -連結である。 $K(C,n+m)$ は $(n+m)$ -型であり、 $\pi_{n+m}(K(C,n+m)) \cong C$ であるから、連結型から $r$ -型への写像の分類により

\operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\pi_{n+m}(X \wedge Y),C) \cong (X \wedge Y \to_\ast K(C,n+m))

となる。スマッシュ積の随伴により、右辺は

X \to_\ast (Y \to_\ast K(C,n+m))

と同値である。さらに二変数化した分類を適用すると、

(X \to_\ast (Y \to_\ast K(C,n+m))) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}\bigl(\pi_n(X), \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_m(Y),C)\bigr)

を得る。 $C$ はアーベル群なので、任意の群準同型 $\pi_m(Y)\to C$ は一意に $\pi_m(Y)^{\mathrm{ab}}$ を通る。さらに外側の準同型もアーベル群を値に持つため、 $\pi_n(X)^{\mathrm{ab}}$ を通る。したがって

\operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}\bigl(\pi_n(X), \operatorname{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_m(Y),C)\bigr) \cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}\bigl(\pi_n(X)^{\mathrm{ab}}, \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\pi_m(Y)^{\mathrm{ab}},C)\bigr)

である。テンソル積の普遍性により、これは

\operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes \pi_m(Y)^{\mathrm{ab}},C)

と同型である。

以上の同型を合成すると

\operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\pi_{n+m}(X \wedge Y),C) \cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes \pi_m(Y)^{\mathrm{ab}},C)

が得られる。残る確認は、この同型が $t_{X,Y}$ による前合成そのものである、という点である。 $h:\pi_{n+m}(X\wedge Y)\to C$ を取る。連結型から $r$ -型への分類により、 $h$ は点付き写像

h' : X\wedge Y \to_\ast K(C,n+m)

に対応する。スマッシュ積の随伴で $h'$ を

X \to_\ast (Y \to_\ast K(C,n+m))

と見て、これに $\mathsf{sma}$ を適用すると、得られる双準同型は

(\alpha,\beta) \mapsto h(t_{X,Y}(\alpha,\beta))

である。これは $h$ を $t_{X,Y}$ で前合成したものに等しい。したがって上の合成同型は $t_{X,Y}^\ast$ である。

よって $t_{X,Y}$ はテンソル積の普遍性を満たし、

\pi_{n+m}(X \wedge Y) \cong \pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes \pi_m(Y)^{\mathrm{ab}}

が従う。この証明ではホモロジーを用いていないため、後で示すフレヴィッツの定理とは循環しない。

スマッシュ積と切り詰め

安定化写像の第二因子では、第二変数を切り詰めても必要な次数のホモトピー群が変わらないことを使う。ここでその事実を示す。

$X$ を点付きで $(n-1)$ -連結な型、 $Y$ を点付き型、 $m \geq -1$ とする。このとき自然写像

X \wedge Y \to X \wedge \|Y\|_m

は、 $(n+m)$ -切り詰めを取ると同値になる。すなわち

\|X \wedge Y\|_{n+m} \simeq \|X \wedge \|Y\|_m\|_{n+m}

である。

スマッシュ積の対称性により、 $Y \wedge X \to \|Y\|_m \wedge X$ について示せばよい。任意の点付き $(n+m)$ -型 $T$ を取る。 $(n+m)$ -切り詰めの普遍性により、前合成

(\|Y\|_m \wedge X \to_\ast T) \to (Y \wedge X \to_\ast T)

が同値であることを示す。スマッシュ積の随伴により、これは

(\|Y\|_m \to_\ast (X \to_\ast T)) \to (Y \to_\ast (X \to_\ast T))

と同じである。 $X$ は $(n-1)$ -連結で $T$ は $(n+m)$ -型なので、写像空間 $X \to_\ast T$ は $m$ -型である。従って $\|Y\|_m$ の普遍性により、上の写像は同値である。よって

\|Y \wedge X\|_{n+m} \simeq \|\|Y\|_m \wedge X\|_{n+m}

であり、スマッシュ積の対称性から主張が従う。

スマッシュ積と懸垂

また、点付き型 $X,Y$ について自然同値

\Sigma(X \wedge Y) \simeq X \wedge \Sigma Y

がある。まず $\Sigma X \wedge Y$ との同値を写像空間で確認し、その後スマッシュ積の対称性を使う。任意の点付き型 $Z$ について、懸垂とループ空間の随伴、およびスマッシュ積の随伴を用いると

\begin{aligned} (\Sigma(X \wedge Y) \to_\ast Z) &\simeq (X \wedge Y \to_\ast \Omega Z) \\ &\simeq (X \to_\ast (Y \to_\ast \Omega Z)) \\ &\simeq (X \to_\ast \Omega(Y \to_\ast Z)) \\ &\simeq (\Sigma X \to_\ast (Y \to_\ast Z)) \\ &\simeq (\Sigma X \wedge Y \to_\ast Z) \end{aligned}

となる。従って

\Sigma(X \wedge Y) \simeq \Sigma X \wedge Y

である。スマッシュ積の対称性を合わせると

\Sigma(X \wedge Y) \simeq X \wedge \Sigma Y

を得る。

安定化写像

次に、被約ホモロジー群を定義する安定化列が、次数 $n$ では $i=1$ 以降で同型になることを示す。

$i \geq 1$ とする。構造写像

\Sigma K(A,i) \to K(A,i+1)

によって、安定化写像

\pi_{n+i}(X \wedge K(A,i)) \to \pi_{n+i+1}(X \wedge K(A,i+1))

が定まる。この写像を

\pi_{n+i}(X \wedge K(A,i)) \to \pi_{n+i+1}(X \wedge \Sigma K(A,i)) \to \pi_{n+i+1}(X \wedge K(A,i+1))

と分解する。

第一の写像を調べる。 $X$ は $(n-1)$ -連結であり、 $K(A,i)$ は $(i-1)$ -連結であるから、スマッシュ積の連結性により

X \wedge K(A,i)

は $(n+i-1)$ -連結である。 $c=n+i-1$ と置くと、 $i \geq 1$ かつ $n \geq 1$ なので $n+i \geq 2$ であり、したがって $c \geq 1$ である。フロイデンタールの懸垂定理により、 $c$ -連結な型 $Z$ について

\pi_k(Z) \to \pi_{k+1}(\Sigma Z)

は $k \leq 2c$ の範囲で同型である。ここで $Z=X \wedge K(A,i)$ , $k=n+i=c+1$ である。必要な不等式は

c+1 \leq 2c

であり、これは $c \geq 1$ から従う。従って

\pi_{n+i}(X \wedge K(A,i)) \to \pi_{n+i+1}(\Sigma(X \wedge K(A,i)))

は同型である。さらにスマッシュ積と懸垂は自然同値

\Sigma(X \wedge K(A,i)) \simeq X \wedge \Sigma K(A,i)

を持つので、第一の写像

\pi_{n+i}(X \wedge K(A,i)) \to \pi_{n+i+1}(X \wedge \Sigma K(A,i))

は同型である。

第二の写像を調べる。記法節で固定した同値を通して、 $K(A,i+1)$ は $\Sigma K(A,i)$ の $(i+1)$ -切り詰めと同一視され、構造写像 $\Sigma K(A,i)\to K(A,i+1)$ は通常の切り詰め写像と同一視される。 $X$ は $(n-1)$ -連結なので、スマッシュ積と切り詰めの交換性から

\left\|X \wedge \Sigma K(A,i)\right\|_{n+i+1} \to \left\|X \wedge K(A,i+1)\right\|_{n+i+1}

は同値である。したがって $(n+i+1)$ 次以下のホモトピー群は一致し、特に

\pi_{n+i+1}(X \wedge \Sigma K(A,i)) \to \pi_{n+i+1}(X \wedge K(A,i+1))

は同型である。

以上により、すべての $i \geq 1$ について

\pi_{n+i}(X \wedge K(A,i)) \to \pi_{n+i+1}(X \wedge K(A,i+1))

は同型である。

逐次図式で、ある項以降の遷移写像がすべて同型なら、その項から余極限への標準写像も同型である。いま被約ホモロジー群を定義する逐次図式では $i=1$ 以降の遷移写像がすべて同型なので、余極限は $i=1$ の項で計算される。すなわち

\tilde H_n(X;A) \cong \pi_{n+1}(X \wedge K(A,1))

である。 $n=1$ の場合は定義上も $i=1$ から始める。 $n \geq 2$ の場合は $i=0$ の項も存在するが、余極限は $i=1$ 以降の同型部分で値が決まるため、同じ結論を得る。

フレヴィッツの定理

ここで、前節のスマッシュ積の最低次ホモトピー群の同型を $Y=K(A,1)$ , $m=1$ に適用する。 $K(A,1)$ は連結であり、

\pi_1(K(A,1)) \cong A

である。従って

\pi_{n+1}(X \wedge K(A,1)) \cong \pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes \pi_1(K(A,1))^{\mathrm{ab}} \cong \pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes A

である。ここで $A$ はアーベル群なので $A^{\mathrm{ab}} \cong A$ である。

安定化の計算と合成すると、

\tilde H_n(X;A) \cong \pi_{n+1}(X \wedge K(A,1)) \cong \pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes A

となる。よって

\pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes A \cong \tilde H_n(X;A)

が得られる。

特に $A=\mathbb Z$ とすると、 $\mathbb Z$ はテンソル積の単位であるから

\pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \cong \tilde H_n(X;\mathbb Z)

である。各段階の同型は、 $(n-1)$ -連結な点付き型の間の点付き写像と、アーベル群の準同型に関して自然であり、係数群の方向の自然性は記法節で固定した関手的な $A\mapsto HA$ と $K(u,i)$ から従うので、得られた同型もその意味で自然である。 $\square$